seychellesartprojects.org

Keskpiiri teoreemi määratlus

Keskne piirteoreem väidab, et mis tahes jaotusega populatsiooni juhusliku muutuja juhuslikud valimid lähenevad normaalse tõenäosusjaotuse saavutamisele, kui valimi suurus suureneb, ja eeldatakse, et kui valimi suurus populatsioonis ületab 30, on keskmine valimi kõigi vaatluste keskmine b on peaaegu võrdne populatsiooni keskmisega.

Keskpiiride teoreemi valem

Oleme juba arutanud, et kui valimi suurus ületab 30, saab jaotus normaaljaotuse kuju. Muutuja normaaljaotuse määramiseks on oluline teada selle keskmist ja dispersiooni. Normaaljaotuse võib öelda järgmiselt

X ~ N (µ, α)

Kus

• N = vaatluste arv
• μ = vaatluste keskmine
• α = standardhälve

Enamasti ei paljasta vaatlusi toorel kujul. Seega on tähelepanekute standardimine selle võrdlemiseks väga oluline. Seda tehakse z-skoori abil. Vaatluse jaoks on vaja arvutada Z-skoor. Z-skoori arvutamise valem on

Z = (X-u) / a / √n

Kus

• Z = vaatluste Z-skoor
• μ = vaatluste keskmine
• α = standardhälve
• n = valimi suurus

Selgitus

Keskne piirteoreem väidab, et mis tahes jaotusega populatsiooni juhusliku muutuja juhuslikud valimid lähenevad valimi suuruse suurenemisel normaalsele tõenäosuse jaotusele. Keskne piirteoreem eeldab, et kuna valimi suurus populatsioonis ületab 30, on valimi keskmine, mis on kõigi valimi vaatluste keskmine, peaaegu võrdne populatsiooni keskmisega. Samuti on valimi standardhälve, kui valimi suurus ületab 30, võrdne populatsiooni standardhälbega. Kuna valim valitakse juhuslikult kogu populatsiooni hulgast ja valimi suurus on üle 30, aitab see hüpoteesi testimisel ja hüpoteesi testimise usaldusvahemiku koostamisel.

Keskse piirteoreemi valemi näited (Exceli malliga)

Selle keskse limiidi teoreemi valemi Exceli malli saate alla laadida siit - keskse piiri teoreemi valemi Exceli mall alla laadida

Näide 1

Mõistame näite abil normaaljaotuse mõistet. Investeerimisfondi keskmine tootlus on 12% ja standardhälve investeerimisfondi investeeringu keskmisest tootlusest 18%. Kui eeldame, et tootluse jaotus on tavaliselt jaotatud, siis tõlgendagem investeerimisfondi investeeringu tootluse jaotust.

Arvestades

• Investeeringu keskmine tootlus on 12%
• Standardhälve on 18%

Niisiis, et teada saada 95% usaldusintervalli tootlust, saame selle teada, lahendades võrrandi as

• Ülemine vahemik = 12 + 1,96 (18) = 47%
• Madalam vahemik = 12 - 1,96 (18) = -23% 

Tulemus tähendab, et 95% kordadest on investeerimisfondi tootlus vahemikus 47% kuni -23%. Selles näites annab valimi suurus, mis on juhusliku valimi tootlus, mis koosneb enam kui 30 tootlusvaatlusest, meile ühisfondi populatsiooni tootluse tulemuse, kuna valimijaotus jaotatakse tavaliselt.

Näide 2

Sama näitega jätkates määragem, mis on tulemus 90% usaldusintervalli puhul

Arvestades

• Investeeringu keskmine tootlus on 12%
• Standardhälve on 18%

Niisiis, et teada saada 90-protsendilise usaldusintervalli tootlust, saame selle teada võrrandi as lahendades

• Ülemine vahemik = 12 + 1,65 (18) = 42%
• Alumine vahemik = 12 - 1,65 (18) = -18%

Tulemus viitab sellele, et ühisfondi tootlus jääb 90% korda vahemikku 42% kuni -18%.

Näide # 3

Sama näitega jätkates määragem, mis on tulemus 99% usaldusintervalli puhul

Arvestades

• Investeeringu keskmine tootlus on 12%
• Standardhälve on 18%

Niisiis, et teada saada 90-protsendilise usaldusintervalli tootlust, saame selle teada võrrandi as lahendades

• Ülemine vahemik = 12 + 2,58 (18) = 58%
• Alumine vahemik = 12 - 2,58 (18) = -34% 

Tulemus tähendab, et 99% kordadest on investeerimisfondi tootlus vahemikus 58% kuni -34%.

Asjakohasus ja kasutamine

Keskne piirteoreem on äärmiselt kasulik, kuna see võimaldab uurijal valimi abil ennustada kogu populatsiooni keskmist ja standardhälvet. Kuna valim valitakse juhuslikult kogu populatsiooni hulgast ja valimi suurus on üle 30, läheneb mis tahes populatsioonist võetud juhuslik valimi suurus tavapärasele jaotusele, mis aitab hüpoteesi testimisel ja hüpoteesi usaldusvahemiku koostamisel testimine. Keskse piiri teoreemi aluselteadlane suudab valida suvalise juhusliku valimi kogu populatsiooni hulgast ja kui valimi suurus on üle 30, saab ta valimi abil prognoosida populatsiooni, kuna valim järgib normaalset jaotust ning samuti keskmist ja valimi standardhälve on sama kui populatsiooni keskmine ja standardhälve.